Ян Амос Коменский
... Для несведущих в математике сокрыты многие тайны вещей.
А.П. Конфорович
Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым.
А. Н. Колмогоров
В каждый данный момент существует лишь тонкий слой между "тривиальным" и недоступным. В этом слое и делаются математические открытия. Заказная прикладная задача поэтому в большинстве случаев или решается тривиально, или вообще не решается...
Л. Карно
Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, – это быть точным, второе – быть ясным и, насколько можно, простым.
* * *
Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств.
И. Кант
В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики.
В. Каверин
Математика – самый короткий путь к самостоятельному мышлению.
И.А. Ибрагимов
Математический талант – сложная вещь. Разумеется, математические способности его необходимый ингредиент. Но этого мало. Математические способности встречаются чаще, чем обычно полагают. Однако, математика, как и наука вообще, трудна и чтобы добиться в ней чего-либо стоящего, нужно жить ею, нужна страстность.
Е. Замятин
… И математика, и смерть – никогда не ошибаются.
Н.Е. Жуковский
В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.
Альбер Жирар
Можно было бы спросить, для чего нужны эти невозможные решения (комплексные корни). Я отвечу – по трём причинам: для незыблемости общих правил; чтобы не было других решений и по причине их полезности.
Ф. Дж. Дэйвис
Числа – это обязательное орудие современной цивилизации, которое используется для упорядочения сферы её деятельности.
* * *
Математика является меньше знанием, чем умением.
Артур Конан Дойл
…Человека, умеющего наблюдать и анализировать, обмануть просто невозможно. Его выводы будут безошибочны, как теоремы Евклида.
Роберт Диггз
Математика была для меня в детстве тем же, чем была религия. Потому что и религия, и математика утверждают, что могут объяснить весь мир.
К. Дзевановский
Когда разговариваешь с математиком, можно не иметь представления о математике. Но при этом совершенно необходимо чувство юмора и сознание своего ничтожества...
Рене Декарт
Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять.
* * *
Математика представляет искуснейшие изобретения, способные удовлетворить любознательность, облегчить ремёсла и уменьшить труд людей.
* * *
Я считал наиболее достоверными те истины, которые ясно воспринимал как относящиеся к фигурам, числам и другим материям, принадлежащим арифметике, геометрии и вообще чистой и абстрактной математике… Только математикам дано достичь несомненности и ясности, ибо они исходят из того, что наиболее легко и просто.
* * *
К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера…
* * *
Бесконечность распознаваема, но не познаваема.
* * *
Природа воплощает в себе то, на чём теоретически основана математика.
* * *
Я решил отказаться от чисто абстрактной геометрии, т.е. от рассмотрения вопросов, служащих лишь для упражнения ума, чтобы заняться изучением геометрии иного рода, предмет которой составляет объяснение явлений природы.
Чарльз Дарвин
У людей, усвоивших великие принципы математики, одним органом чувств больше, чем у простых смертных.
Д.А. Граве
Ключ к решению многих научных задач в их удачном изложении языком математики.
Давид Гильберт
Бесконечность! Ничто не двигало так глубоко человеческий разум.
* * *
Математика есть единая симфония бесконечного.
* * *
Об одном из своих учеников: Он стал поэтом — для математика у него не хватало фантазии.
* * *
Математика является учением об отношениях между формулами, лишенными какого бы то ни было содержания.
* * *
Математика – всего лишь игра в которую играют согласно простым правилам и пользуются при этом ничего не значащими обозначениями.
* * *
В огромном саду геометрии каждый может подобрать себе букет по вкусу.
* * *
Мы все убеждены в том, что любая математическая задача поддаётся решению. Это убеждение… является для нас большим подспорьем в работе, когда мы приступаем к решению математической проблемы, ибо мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существует ignorabimus (мы не будем знать).
* * *
На мой взгляд, истинная причина, в силу которой… не удалось найти неразрешимую математическую проблему, заключается в том, что неразрешимых проблем не существует.
* * *
Где же ещё искать надёжность и истинность, если даже само математическое мышление даёт осечки?
* * *
... Любые рамки, в особенности национального характера, противоречат духу математики. Только абсолютно не понимая нашей науки, можно создавать различия между людьми и расами, а причины, по которым это делалось, являются крайне ничтожными. Математика не знает рас... Для математики весь культурный мир представляет собой единую страну.
Эварист Галуа
Эта наука (математика) – творение человеческого разума, предназначенное не столько для знания, сколько для познания, для поиска, а не для отыскания истины.
С. Врублевский
Если тебе трудно сразу понять всю бесконечность, постарайся понять ее хотя бы наполовину.
Вольтер
В голове Архимеда было больше воображения, чем в голове Гомера.
Леонардо да Винчи
Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя приложить ни одной из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой.
* * *
Тот, кто хулит высшую достоверность математических наук, питается сумбуром и никогда не заставит умолкнуть возражения софистических наук – наук, которые учат лишь вечному крику.
* * *
Все проблемы Перспективы можно прояснить при помощи пяти терминов математики: точка, линия, угол, поверхность и тело.
* * *
Пусть никто, не будучи математиком, не дерзает читать мои труды.
* * *
Из всех заслуживающих изучения первопричин и действующих начал природы восторг зрителя вызывает главным образом Свет, а из достопримечательностей Математики разум исследователя в несравненно большей степени, чем всё остальное, возвышает непреложность её доказательств.
Норберт Винер
Математика – один из видов искусства.
* * *
Едва ли кто-нибудь из нематематиков в состоянии освоиться с мыслью, что цифры могут представлять собой культурную или эстетическую ценность или иметь какое-нибудь отношение к таким понятиям, как красота, сила, вдохновение. Я решительно протестую против этого косного представления о математике.
* * *
Математика – наука молодых. Иначе и не может быть. Занятия математикой – это такая гимнастика ума, для которой нужны вся гибкость и вся выносливость молодости.
* * *
Высшее назначение математики – находить порядок в хаосе, который нас окружает.
* * *
Большинство так называемых культурных людей, не связанных с математикой по роду своих занятий, считает совершенно допустимым не иметь об этой науке ни малейшего представления. Математика для них – нечто в высшей степени скучное, сухое и отвлечённое… В наиболее печальных случаях считается, что это почти то же самое, что занятие бухгалтерией.
* * *
Одна из главных обязанностей математика, выступающего в роли советника, заключается в предостережении от слишком больших ожиданий.
Наум Яковлевич Виленкин
Решение трудной математической проблемы можно сравнить с взятием крепости.
А.П. Конфорович
Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым.
Юджин Пол Вигнер
Математика – это наука о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам над специально придуманными понятиями. Ясно, что особенно важная роль при этом отводится придумыванию новых понятий. Запас интересных теорем в математике быстро исчерпался бы, если бы их приходилось формулировать лишь при помощи понятий, содержащихся в аксиомах.
* * *
Чудесная загадка соответствия математического языка законам физики является удивительным даром, который мы не в состоянии понять и которого мы, возможно, недостойны. Мы должны испытывать чувство благодарности за этот дар. Следует надеяться, что он не покинет нас в будущих исследованиях и что он будет – хорошо это или плохо – развиваться к нашему большому удовлетворению, а быть может, и к нарастающему беспокойству, расширяя область познания окружающего нас мира.
* * *
Математик не только способствует более глубокому пониманию решения, найденного естествоиспытателем, но и существенно обобщает первоначальную постановку проблемы.
* * *
Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов. Это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить за него судьбу и надеяться, что и в будущих своих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им. Мы думаем, что сфера его применимости (хорошо это или плохо) будет непрерывно возрастать, принося нам не только радость, но и новые головоломные проблемы.
Герман Вейль
Логика – это своего рода гигиена, позволяющая математику сохранять свои идеи здоровыми и сильными.
* * *
В системе математики имеются два обнаженных пункта, в которых она, может быть, соприкасается со сферой непостижимого. Это именно принцип построения ряда натуральных чисел и понятие континуума.
* * *
Математика – это вид умственной деятельности, а не свод точных знаний.
* * *
В природе существует внутренне присущая ей скрытая гармония, отражающаяся в наших умах в виде простых математических законов.
Ж. Ван Гут
В математике, кроме возможных приложений ее в науке, есть собственный свет и мудрость; и человеческий ум, улавливающий, что математика означает для самой себя, многим вознаграждается. Это не старая доктрина искусства для искусства. Это искусство ради человечества.
Ван дер Варден
Стремление уйти от мира, замкнутая монашеская жизнь, вегетарианство и общность имущества встречались у многих сект. Но что отличало пифагорейцев от всех других – это способ, при помощи которого они считали возможным достигнуть очищения души и соединения с божеством; это делалось именно при помощи математики. Математика была одной из составных частей их религии.
К. Вейерштрасс
Нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом.
* * *
...Между математикой и естественными науками должны быть установлены более глубокие взаимоотношения, чем те, которые имели бы место, если бы, например, физика видела в математике лишь вспомогательную дисциплину, пусть даже необходимую, а математика рассматривала вопросы, выдвигаемые физиками, только как обильное собрание примеров для своих методов.
* * *
На вопрос: «Можно ли действительно получить что-либо непосредственно применимое из тех абстрактных теорий, которыми предпочтительно занимаются теперешние математики?» – я могу ответить, что греческие математики изучили свойства конических сечений чисто умозрительным путём задолго до того, как кто-либо мог предугадать, что эти кривые представляют собой пути, по которым движутся планеты, и я верю, что будет найдено ещё много функций с такими свойствами, как, например, знаменитые тета-функции Якоби, с помощью которых можно, с одной стороны, узнать, на сколько квадратов разлагается любое заданное число, которые позволяют спрямить дугу эллипса, и, с другой стороны, дают возможность найти истинный закон колебаний маятника.
Хорхе Вагенсберг
Математика помогает понять реальность и может ею вдохновляться, но для подтверждения или опровержения любого ее предложения реальность ей не нужна.
* * *
Физика кажется математикой в цвете, но математика больше, чем черно-белая физика.
* * *
Реальность говорит последнее слово, чтобы проверить или опровергнуть научную теорию, но что или кто заботится о таких вещах в математике?
* * *
Комплексные числа помогают из-за обратной стороны зеркала справиться с недостатками вещественных чисел.
* * *
Красота математики, как и красота любой вещи, – это внутреннее свойство, она происходит из гармонии между различными частями одного целого.
Роджер Бэкон
Человек, не знающий математики, не способен ни к каким другим наукам. Более того, он даже не способен оценить уровень своего невежества, а потому не ищет от него лекарства.
* * *
В истории черпаем мы мудрость, в поэзии – остроумие, в математике – проницательность.
* * *
Математика – первая из всех наук и полезна, и необходима для них.
* * *
Математика — это дверь и ключ к наукам.
* * *
Практика рождается из тесного соединения физики и математики.
* * *
Врата и ключ этих наук – математика, которую, как я докажу, открыли безупречные мужи от начала мира и которую предпочитали прочим наукам все безупречные и мудрые. А пренебрежение ею уже на протяжении 300 или 400 лет разрушило всякое знание у латинян. Ибо, не зная её, нельзя знать, как я покажу далее, ни прочих наук, ни мирских дел. И что ещё хуже, люди, в ней не сведущие, не ощущают собственного невежества, а потому не ищут от него лекарства. И напротив того, знакомство с этой наукой подготовляет душу и возвышает её ко всякому прочному знанию, так что, если кто познал источники мудрости, касающиеся математики, и правильно применил их к познанию прочих наук и дел, тот сможет без ошибок и без сомнений, легко и по мере сил постичь и все последующие науки.
Никола Бурбаки
Со времён греков говорить "математика" – значит говорить "доказательство".
Роберт Брингхерст
Математика существует не для того, чтобы навязывать кому-либо тяжелую работу. Наоборот, она существует только для удовольствия. Для удовольствия тех, кто любит анализировать то, что он делает, или может сделать, или то, что уже сделал в надежде сделать это еще лучше.
Липман Берс
Строгость в математике означает, прежде всего, добросовестность и ясность.
Эрик Темпл Белл
«Очевидный» – самое опасное слово в математике.
* * *
Математика – королева и служанка наук.
* * *
Как известно большинству математиков по собственному опыту, многое из того, что одно поколение математиков считает надёжным и удовлетворительным, имеет шанс обратиться в тончайшую паутину под пристальным взором следующего поколения.
* * *
Принятое в XX веке определение математики как науки о бесконечном следовало бы заменить другим, более правильно отражающим ее сущность как науки о соотношениях конечного и бесконечного.
Стефан Банах
Математик – это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями. Лучший математик – кто устанавливает аналогии доказательств. Более сильный может заметить аналогии теорий. Но есть и такие, кто между аналогиями видит аналогии.
Аристотель
Математика выявляет порядок, симметрию и определённость, а это – важнейшие виды прекрасного.
* * *
Мы с наслаждением познаём математику… Она восхищает нас, как цветок лотоса.
* * *
И учение о природе, и математику следует считать лишь частями мудрости.
Александр Данилович Александров
Математика полезна тем, что она трудна.
* * *
Нигде, как в математике, ясность и точность вывода не позволяет человеку отвертеться от ответа разговорами вокруг вопроса.
* * *
Математика учит точности мысли, подчинению логике доказательства, понятию строго обоснованной истины, а всё это формирует личность, пожалуй, больше, чем музыка.
Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты и жара сконцентрированной в них мысли.
Нильс Абель
Геометрия – это искусство хорошо рассуждать на плохо выполненных чертежах.
* * *
Математика для учёного – то же самое, что скальпель для анатома.
Дж. Кратч
Логика – это искусство ошибаться с уверенностью в своей правоте.
Леопольд Кронекер
Господь сотворил целые числа; остальное – дело рук человека.
А.Н. Крылов
Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле.
* * *
Геометр создает методы решения не только тех вопросов, которые возникают в результате современных потребностей, но и для будущих, которые возникнут, возможно, завтра, возможно, – через тысячу лет.
Уиллард Ван Орман Куайн
Неопровержимость – имя твое, математика.
П.Д. Коэн
Разумеется, хорошая математика всегда красива.
Михаил Филиппович Кравчук
Не опускайте рук, займитесь математикой, и вы прозреете душою...
* * *
Помните, хотите научиться плавать, смелее входите в воду. Хотите научиться математике, беритесь за задачи. Каждое решение является своеобразным искусством поиска.
* * *
Часто мы слышим, что математика – наука сухая, абстрактная. Может для кого-то это и так. Но только не для инженера! Нет в мире машин, которые шли не от математики, нет полнокровной жизни создателя техники без этой науки... Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя применить математику. Этим-то она, математика, для вас должно стать душевной потребностью, если хотите, хлебом и песней.
* * *
Что такое математика вообще? Ответить на это нелегко. Тысячелетиями существует эта наука, люди изучают ее, развивают, а что такое математика, так до сих пор никто точно не определил. Как никто не сказал, что такое музыка. Разве можно понять, оценить ее, не почувствовав ее, не почувствовав ритма, гармонии, порядка? Разве можно оценить произведение художника, не испытывая формы, цвета, композиции? Так и в математике. Чтобы понять ее, добраться до сути, надо глубже проникнуть в отдельные элементы.
|